미래 도둑

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1. 송영복 2006/11/07 12:17 # M/D Reply Permalink

   수학은 타임머신이다?!
   칸토르는 부분이 전체와 같을 수도있다는 사실을 발견하고 크게 고무되었습니다.
   (제가 고3 수학시간때 이런 생각하다가 시험망친기억이 납니다. ㅜㅜ)
   사과 한개가 사과 반쪽보다 크다는 인간의 가장 기초적인 생각마저도 무한에 있어서는 성립되지 않습니다.
   사과 한개와 반쪽이 같게 만들수 있는 방법이 있지요.. (y=2x)
   그렇다면 당연히 무한은 모두 다 같을 수 있는가? 라는 질문을 던지게 됩니다.
   사실 이것은 100여년전 칸토르가 품었던 의문입니다.
   답은 ?
   너무나 황당합니다.
   무한보다 더 큰 무한이 존재한다는 겁니다.
   자연수와 유리수는 1대1 대응시킬수 있습니다 ( 칸토르의 대각논법)
   그러나 자연수와 실수는 1대1대응이 존재하지 않음을 칸토르가 증명하였습니다..
   자연수도 무한히 많지만 실수는 더 큰 무한이다 라는 거지요..
   여기서 칸토르는 멈추지 않았습니다.
   실수는 직선으로 나타낼수 있으니 면적으로 나타나는 점들은 직선위의 점보다 훨씬 많겠지요..
   그래서 칸토르는 억지로 직선의 점들을 면적의 점들과 하나씩 대응하는 방법을 생각해 보았습니다. 그러면 모순이 생길거라고 기대하고...
   그런데....
   직선과 면이 일대일 대응이 되는 겁니다...
   칸토르는 이것을 찾고는 전율을 느낍니다.. 그때의 소감을 이렇게 표현했습니다.
   I know but I can't believe!
   자신이 증명을 했으니 이것이 사실이라는 것은 알겠지만 ..
   너무나도 상식에 어긋나니 도저히 감성적으로 받아들이기 어렵다는 자신의 흥분을 표현한 말입니다.
   직선을 면과 1대1로 대응시킬수 있다는 것이 왜 그리도 놀라운 사실이냐면..
   직선이 면과 1대1대응이 되니 같은 방법으로 3차원 공간과도 1대1대응이 됩니다..
   그러면 4차원 5차원 아무리 차원을 늘려도 점의 갯수가 직선과 같으며 조금도 늘어 나지 않는 다는 겁니다...
   혹시 맨인블랙 1편에서 고양이 방울안에 들어 있는 은하계를 기억하십니까?
   엄청난 우주가 손톱만한 공간에 들어 갈수 있다는 것을 의미합니다 적어도 수학적으로는...
   일반인들이 이것을 얼마나 황당한 소리인가라고 비웃는 것도 무리가 아닙니다.
   가우스를 비롯한 칸토르시대의 최고의 수학자들도 칸토르가 할 짓없이 수학을 조롱하고 저급하게 만든다고 비난하였습니다.. 그로 인해 고통받은 칸토르는 세상을 향해 절규합니다.
   " 수학의 본질은 자유로움이다"
   상식과 관습과 전통에 억매이지 않는 인간의 무한한 지적 활동은 세상의 그 어떤것도 재한을 받지않는다.
   이것은 아마 유한한 인간이 무한을 향해나가려는.. 그러나 좌절할수 밖에 없는 ... 그러나 그것을 알지만 도전할수 밖에 없는 인간의 운명을 보여주는 단편입니다..
   유한하기 때문에 무한한 존재를 동경하고 그 얼굴을 보고싶어하는 인간의 절규입니다..
   어쩌면 유한한 존재가 무한한 존재를 이해하고 보려하는 것이 불가능한건지도 모르겠습니다. 그러나 어쩌겠어요.. 유한은 무한을 동경하고 바라보도록 만들어 진걸요..
   
   
   그러면 실수의 무한이 가장 큰 무한일까요?
   아무리 차원을 늘려 점을 더해도 더큰 무한을 만들수 가 없으니 더 큰 무한은 없을까요?
   칸토르는 질문은 끝이 없었습니다.. 정말 집요하지요...
   
   그런데 놀랍게도 더 큰 무한이 있습니다.
   그건 실수의 모든 부분집합을 모아서 집합을 만들면 실수와 1대1대응이 되지않는 더큰 무한을 만들수 있습니다..
   그러면 같은 방법을 반복해서 더 큰무한을 또무한히 만들수 있습니다.
   무한은 무한히 존재합니다. 항상 더큰 무한이 존재하는 거지요..
   이런 무한이 많이 존재하니 이것을 구분하기 위해 칸토르는 이름을 붙쳐주었습니다.
   자연수 무한을 알레프0, 실수무한을 알레프1, 실수무한의 모든부분집합의 집합을 알레프 2 ......
   알레프는 우리나라 기역에 해당합니다 . 이스라엘언어인 히브루어의 첫글자 입니다.
   히브루어는 성경을 기록한 언어이므로 하나님의 언어라고 생각하고 무한의 이름을 히브루어에서 가져온것입니다.
   
   칸토르는 무한도 무한히 존재한다는 것을 밝힌뒤 이제는 자연수 무한과 실수무한사이에 다른 무한이 또 있을까 라고 질문했습니다..
   분명 실수무한(알레프1)이 자연수무한(알레프0) 보다 더 크다는 것을 알았지만 자연수 무한보다는 크고 실수무한 보다는 작은 무한이 있을까는 증명하지 못했습니다.
   이것만 증명하면 자신이 만든 무한들의 순서를 마치 1 2 3 ...처럼 늘어 놓는것이 가능하겠지요.. 이것이 그유명한 연속체 가설입니다.
   증명하는 것이 그렇게 어려워 보이지 않았습니다..
   금방될것처럼 보였지요..
   그러나..
   될듯 될듯하며 증명이 되지 않았습니다..
   이것만 완성하면 하나의 무한의 체계를 만들어 세상에 자신의 업적을 알리려고 했습니다.
   하지만..
   1년이 가도 2년이 가도.... 증명된 듯하다가 다시 오류가 발생하고...
   주위 동료 수학자들이 비난하할수록...
   칸토르는 점점더 이문제에 집착하고 .. 집착할수록 ..더 큰 절망을 느끼고 ..
   유한한 칸토르의 인성이 무한앞에서 무너져 갔습니다..
   결국 정신병원에 입원하고 연속체 문제에서 멀어져 있을 때는 상태가 호전되었다가 다시 증명에 몰두할때는 상태가 더 심각해져 갔습니다.
   무한이 칸토르의 생을 태우는 것을 본인이 가장 잘 알았겠지만 불을 향해 달려가는 부나방처럼 자신의 숙명을 바꾸지 않았습니다.
   결국 칸토르는 증명하지 못한 연속체가설을 인류에게 남기고 작은 정신병원에서 가족들이 보는 앞에서 쓸쓸히 생을 마감하였습니다.
   시대를 앞서 살았기에 불운했던 천재 수학자 게오르크 칸토르...
   그는 인류의 지성에 새로운 불을 밝혀주었던 선각자요, 미지의 세계를 열어준 개척자 였습니다.
   " 세상의 그누구도 그가 우리에게 보여주었던 새로운 낙원으로부터 우리를 몰아낼 수없을 것이다" -버트란 러셀
   
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   칸토르 이후에...
   
   
   칸토르의 연구는 수학의 가장 기초분야를 담당하는 집합론으로써 오늘날 모든 수학의 당위성을 부여하는 필수 과목이 되었다.
   
   연속체 가설은 20세기 인류가 풀어야할 가장 중요한문제 20 개중 그 첫번째로 지정되어 수학자 괴델에 의해 풀렸다.
   연속체 가설은 증명을 할수 없는 문제라는 것이 증명되었다.
   인류는 수학에서 참인지 거짓인지 알수없는 문제가 수학속에 있다는 것을 처음 알게 되었다.. 수학의 불완전성( 혹은 불완비성) -- 괴델
   칸토르는 영원히 증명할수없는 문제를 증명하려고 했던 것이다..
   괴델은 정부기관이 자신을 독살하려고 한다고 믿어 음식을 거부하고 영양실조로 병원에서 사망....